癮科學：查爾斯．巴貝奇的差分機與分析機

Andy Yang
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查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage）生於 1791 年，卒於 1871 年，是活躍於十九世紀的數學家、發明家兼機械工程師。那是個人們相信機械的力量可以做到一切的時代，源自於工業時代的進步帶來了蒸汽機和各種機械裝置，將人們從各種勞動中解放了出來。就是在這樣的環境下，巴貝奇開始了對數學製表的機械化的研究 -- 在那個沒有計算機和電腦的時代，很多計算最快的方式其實是用查表的，但是靠人工來製表不僅費時費力，而且難免會有計算錯誤、抄寫錯誤、校對錯誤、印製錯誤等各式各樣的問題。巴貝奇在劍橋求學時，發現到了這個現象，於是就將改善製表時的各種問題當作了畢生的志業。

聽起來這麼厲害的人，我們都應該讀過他的傳記了啊？為什麼最後這個名字卻沒有多少人知道呢？那是因為很可惜的，最後他因為經費、個性、大環境等種種因素而失敗了，沒能在十九世紀就掀起一次計算機革命。然而他的想法和圖紙卻留了下來，讓我們有機會可以一探這位天才在幾乎 200 年前的維多利亞時代，是如何差一點改變了世界。讓我們一起來看看巴貝奇的計算機吧！什麼是差分機？

差分機又稱差分引擎（Difference Engine），是巴貝奇畢生的研究所在。和你想像的可能有些不同，這其實並不是一台一般意義上的「計算機」 -- 當時可以做簡單的加減乘除的機械裝置已經存在，而巴貝奇的機器也沒打算和他們搶工作。準確的說，巴貝奇的機器是一台「多項式求值機」，只要將欲求值的一元多次方程式輸入到機器裡，機器每運轉一輪，就能產生出一個值來。假設我們以 F(x) = x²+4 做為例子好了，差分引擎吐出來的結果，就會是 F(1) = 5，F(2) = 8，F(3) = 13，F(4) =20...etc. 直到系統停止為止。機器運作最重要的基礎，在於其實要求值，完全只需要用到加減法而已喔！

上圖同樣是 F(x) = x²+4 的例子。第一步是先算出 F(1) 和 F(2) 的值之間的差（8-5=3），稱為第一階差（ First Difference）。如果這個值和 F(2) 及 F(3) 之間的差（13-8=5）不同的話，就拿這兩個第一階差再算一次差（ 5-3=2），稱為第二階差（ Second Difference）。在這個例子裡，第二階差每一個都是 2，所以就不用再計算下去了。一次方程式最多只會有第一階差，二次會到第二階差，N 次會到 N 階差...etc。一但有了一個固定不變的差數後，就可以開始往前推算回去，接下來的每一個值，就是將差數和前一階的上一個值相加，即可獲得。例如求 F(4) 時，先將 2 加上上一階差的值 5 得到 7，再將 7 加上 F(3) 的值 13，就會得到 F(4) = 20，以此類推。以人類的角度來看似乎略顯得有些囉嗦，但這正是最適合機械計算的結構了。


差分機引擎一號



巴貝奇的想法很簡單，他想要造一台機器，從計算一直到最後印結果全部都自動化，在減少人工的同時，全面地消除可能出錯的一切問題點。他開始設計的第一台機器稱為差分機引擎一號（Difference Engine No.1），由英國政府補助出資，工匠 Joseph Clement 打造，預計完工後將有 25,000 個零件，重 15 噸。可惜，一方面是因為大量精密零件製造困難，加上巴貝奇不停地邊製造邊修改設計，從 1822 到 1832 年的十年間，巴貝奇只能拿出完成品 1/7 的部份來示範（上圖）。但即使如此，差分機引擎運轉中的精密仍然令當時的人嘆為觀止。可惜，再精采的演出，也無法改變巴貝奇已經嚴重超支的事實，再加上他不停的在製作過程中修改設計和其他的一些因素，令他和工匠師傅 Clement 間時有爭論。最後不僅導致 Clement 辭職，差分機引擎一號也很不幸地一直未能完成。最後 12000 個零件被熔掉回收，英國政府在 1842 年的最後清算發現，整個計畫一共讓英國政府賠掉了 17500 英鎊 -- 約等同於 22 台蒸汽火車頭，一個相當驚人的數字。

差分機引擎一號如果完成的話，25000 個零件會差不多平均分攤在計算的部份和印出的部份裡，兩者是不可分開的。1830 年的設計顯示它可以計算到第六階差，最高可以存 16 位數。

分析機引擎


不過對巴貝奇來說，差分機引擎不是個「失敗」。事實上他本來就對製造差分機引擎的行政工作感到無比地厭煩，和英國政府結束合作意味著他可以專心的坐下來，做他最拿手的事 -- 設計更強大的機器。在 1834 年他設計出了一台更加野心勃勃的機器，稱為分析機引擎（Analytical Engine）。列出它的功能可以讓人眼睛都突出來：首先，它的機械結構被分成了「計算單元」和「儲存單元」兩個部份，其中計算單元不僅內建四則運算，而且還可以「存」四組不同的運算方程式，用穿孔卡片（Punch Card）載入到機器裡。這台機器在設計上甚至有能力進行條件分支（if）、迴圈、平行處理等程式邏輯，只是巴貝奇的年代自然還沒有這些名詞的出現。最後的結果還可以選擇印刷、打卡、繪圖等多種輸出方式，從某些方面來說，它計算、儲存、I/O 三項分離的設計，和今日的電腦並無二致，只是最後分析機引擎只停留在了紙上，從沒做成實機過。

提到分析機引擎，就不能不提一下另一個傳奇的人物：愛達．勒芙蕾絲（Ada Lovelace）。愛達的父親就是英國的大詩人拜倫，只是拜倫在愛達九歲時就過世了。愛達小時候身體並不好，但並沒有因此落下教育，特別是（以當時的女性來說還蠻稀少的）科學和數學。她的家庭教師之一 Augustus De Morgan 對她數學能力的評價非常之高，認為她非常有機會成為第一流的數學家。愛達和巴貝奇認識於 1833 年，之後一直有維持通訊，因此對巴貝奇在差分機和分析機引擎方面的進展頗有了解。1842-43 年間，愛達翻譯了另一位義大利數學家 Luigi Menabrea（這位老兄後來做到義大利首相）關於分析機引擎的著作時，應巴貝奇的要求在後面附上了七篇她自已的手記。這七篇筆記比 Luigi 的原文還長，其中第七篇裡愛達用非常詳細的描述，設想了如果分析機引擎成真的話，要如何用它來求伯努利數列的值。雖然機器是機械的不是數位的，計數方式也是十進制的不是二進制的，但一般仍然認為這是世界上第一個電腦程式。

差分機引擎二號

在分析機引擎之後，巴貝奇運用在開發過程中得到的心得，重新回頭設計了差分機引擎。運用新的方法，在 1847-49 年間設計的差分機引擎二號可以計算到 31 位數，可以計算到第七階差，而且零件數還只有差分機引擎的 1/3。可惜的是，這時候巴貝奇已經找不到願意出資的人，因此差分機引擎二號也就停留在了紙上。到巴貝奇一生結束，一共只留下來了 1/7 的差分機引擎一號，一些實驗性的分析機引擎零件，和大量的筆記和圖紙。

故事結束了嗎？當然沒有。事實證明巴貝奇留下來的詳細圖紙才是最重要的遺產，在 1985 年時倫敦科學博物館決定照著巴貝奇的圖紙，打造一台完整的差分機引擎出來，回答兩個歷史性的問題：這東西，到底做不做得出來？做得出來的話，能照著巴貝奇的說明操作嗎？整個計畫一如巴貝奇當年的翻版，充滿了經費困難、生產問題、一推再推的期限和無數的技術困難。最主要的，因為只是紙上的概念，巴貝奇並沒有註明材料、工法等事項，因此工程學家只能用現代技術去反推當時的技術上限，確保做出來的機器是那個年代也能完成的。整台機器到 2002 年才完工，一共花了 17 年的時間，最後的成果，就是這個：



機器本身的部份大約在 3:30 開始，前面是巴貝奇的生平。完成的差分機引擎重五噸，長 11 英呎、高 7 英呎、最窄處 18 英吋，有 8000 個各式零件。機器的運作一如巴貝奇的描述，雖然單論運算能力來說是比今日的電腦差遠了，但至少完全證明了巴貝奇的設計並沒有錯。換了一個時空，說不定資訊革命還能提前個五十年呢！

當然，剩下來的問題就只有一個了：那分析機引擎呢？巴貝奇的兒子亨利．巴貝奇花了相當長的時間，試圖讓分析機引擎成真，但最多也就是在 1910 年時完成了沒有程式化能力的一部份計算單元，從此巴貝奇的名字便消失在歷史的長河中， 1930、1940 年代的科學家重新開始製造電腦時，根本就已經忘了巴貝奇的成就，不得不重新再走一次巴貝奇走過的老路，有趣的是，最後的基本架構依然是如此地相似。目前有計畫要讓分析機引擎也像差分機引擎一樣「死而復生」，希望能再一次地從實物中，了解查爾斯巴貝奇的天才。